Uno dei primi argomenti trattati in qualsiasi corso di dinamica delle strutture è lo studio del moto di un oscillatore semplice, ad un solo grado di libertà. Con l’oscillatore semplice possiamo per esempio schematizzare abbastanza fedelmente il comportamento di un serbatoio idrico realizzato al disopra un alto fusto in c.a. o acciaio. In questi appunti si considera l’oscillatore semplice dapprima libero, ossia non soggetto ad alcuna altra forza che non sia quella di richiamo elastico dell’asta, poi forzato, ossia soggetto ad una azione “forzante” esterna di tipo armonico con una sua frequenza (pensiamo per esempio ad una persona che spinge periodicamente un’altra persona su una altalena che oscilla), infine forzato e smorzato, ossia soggetto alla forzante esterna e ad una forza viscosa (funzione della velocità) che si oppone al moto, generando dissipazione di energia.
Quella che segue è una applicazione con geogebra da me realizzata e che illustra in modo dinamico le caratteristiche del sistema. Si ipotizza tutta la massa m del sistema concentrata sulla sommità dell’asta (sferetta). Con k si indica la costante di richiamo elastico dell’asta. Su valore di k incide il tipo di materiale di cui è composta l’asta (modulo di elasticità E) e la forma della sezione trasversale, ipotizzata circolare di raggio r. Con x si indica lo spostamento della massa m dalla posizione iniziale (x=0). T indica il periodo di oscillazione del sistema, pari, come è noto, all’inverso della frequenza f.
L’animazione è ottenuta implementando la soluzione della equazione differenziale del moto della massa m, riportata all’interno del riquadro dell’applicazione, alla quale si giunge da semplici considerazioni fisiche (seconda legge della dinamica).
Con i cursori in basso a sinistra è possibile variare il valore della massa e/o quello del raggio dell’asta (quindi la sua costante elastica k).
Il pulsante START serve a far partire l’animazione, STOP a interromperla, RESET a riportare l’animazione all’istante iniziale.
OSCILLATORE SEMPLICE LIBERO
OSCILLATORE SEMPLICE FORZATO
In questo caso con i cursori in basso a sinistra è possibile variare anche il valore della pulsazione ωp , quindi della frequenza, dell’azione forzante esterna.
Si nota, in tal modo, che avvicinandoci ad un particolare valore di ωp, pari a quello corrispondente al periodo proprio del sistema, le deformazioni si accentuano, fino ad attingere il valore massimo in corrispondenza della “risonanza”, quando cioè la frequenza della forzante esterna è uguale a quella corrispondente al periodo proprio del sistema.
Seguirà applicazione geogebra per il caso di oscillatore semplice forzato e smorzato.
dicembre 2017 – Arturo Lorenzo D’Aprile
